Geodetski

Geodetska črta na površini triosnega elipsoida

Geodetska (tudi geodetska črta ) - krivulja določene vrste, posplošitev koncepta " ravne " za ukrivljene prostore.

Natančna definicija geodetske črte je odvisna od vrste prostora. Na primer, na dvodimenzionalni površini, vgrajeni v evklidski tridimenzionalni prostor , so geodetske črte črte, katerih dovolj majhni loki so najkrajše poti med njihovimi konci na tej površini. Na ravnini bodo to ravne črte, na krožnem cilindru - spiralne črte , premočrtni generatorji in krogi , na krogli - loki velikih krogov .

Geodetske linije se aktivno uporabljajo v relativistični fiziki . Tako se testno telo v splošni teoriji relativnosti premika vzdolž geodetske črte prostor-čas . Pravzaprav lahko časovno evolucijo vseh Lagrangijevih sistemov obravnavamo kot gibanje vzdolž geodezije v posebnem prostoru. Tako je mogoče predstaviti celotno teorijo merilnih polj .

Diferencialna geometrija

Kolektorji z afinsko povezavo

V sortah z afino povezavo $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ geodezija je krivulja $\gamma (t)$ ${\ displaystyle \ gama (t)}$ $\ gama (t)$ ki izpolnjuje enačbo

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0.

{\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0.}

V koordinatni obliki lahko to enačbo prepišete z uporabo Christoffelovih simbolov :

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ {~ \ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ { \ mu}} {dt}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {dt}} = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ {~ \ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ { \ mu}} {dt}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {dt}} = 0,}

kje $x^{\mu }(t)$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (t)}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (t)}$ - koordinate krivulje.

Z drugimi besedami, krivulja je geodetska, če vektor, ki je vzporeden s krivuljo v začetni točki, ki je vzporeden s krivuljo v začetni točki, ostane povsod tangenten.

Riemannove in psevdo-Riemannove mnogoterosti

V Riemanovih in psevdo-riemanovih prostorih je geodezija opredeljena kot kritična krivulja energijskega integrala:

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\big )}\,dt,

{\ displaystyle E (\ gamma) = \ int \ limits _ {\ gamma} g {\ big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ big)} \, dt, }

{\ displaystyle E (\ gamma) = \ int \ limits _ {\ gamma} g {\ big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ big)} \, dt, }

tukaj $\gamma (t)$ ${\ displaystyle \ gama (t)}$ $\ gama (t)$ - krivulja v prostoru, $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ - metrična . (V fiziki se ta integral običajno imenuje akcijski integral .)

Ta pogoj je enakovreden:

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0

{\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0}

\ nabla _ {{{\ pika \ gama}}} {\ pika \ gama} = 0

vzdolž celotne krivulje, kjer $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ označuje povezljivost Levi-Civita .

Metrična geometrija

V metričnih prostorih je geodezija opredeljena kot lokalno najkrajša pot z enotno parametrizacijo (pogosto z naravnim parametrom ).

V skladu z Gaussovo lemo ta definicija za Riemannove mnogoternike opredeljuje isti razred krivulj kot diferencialno-geometrična definicija zgoraj.

Uporaba v fiziki

Geodetske črte se aktivno uporabljajo v relativistični fiziki. Na primer, trajektorija prosto padajočega nenabitega testnega telesa v splošni teoriji relativnosti in na splošno v metričnih teorijah gravitacije je geodetska črta največjega lastnega časa , to je čas , ki ga meri ura, ki se premika s telesom.

Pogosto fizični teorija, da je dejanje ali je izražena v Hamiltonovega obliki je mogoče preoblikovati kot problem iskanja geodetskih linij na nekaterih Riemannian ali psevdo-Riemannian kolektorja.

Poglej tudi

Literatura

Grave D.A.Geodetic line // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : v 86 zvezkih (82 zvezkih in 4 dodatni). - SPb. , 1890-1907.
Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Sodobna geometrija. - Vsaka izdaja.
Miščenko A.S., Fomenko A.T. Tečaj diferencialne geometrije in topologije. - Vsaka izdaja.
Postnikov M.M. Variacijska teorija geodezije. - Vsaka izdaja.
A. V. Černavski . Diferencialna geometrija, 2. letnik .