Geodetski

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Pojdi na navigacijo Pojdi na iskanje
Geodetska črta na površini triosnega elipsoida

Geodetska (tudi geodetska črta ) - krivulja določene vrste, posplošitev koncepta " ravne " za ukrivljene prostore.

Natančna definicija geodetske črte je odvisna od vrste prostora. Na primer, na dvodimenzionalni površini, vgrajeni v evklidski tridimenzionalni prostor , so geodetske črte črte, katerih dovolj majhni loki so najkrajše poti med njihovimi konci na tej površini. Na ravnini bodo to ravne črte, na krožnem cilindru - spiralne črte , premočrtni generatorji in krogi , na krogli - loki velikih krogov .

Geodetske linije se aktivno uporabljajo v relativistični fiziki . Tako se testno telo v splošni teoriji relativnosti premika vzdolž geodetske črte prostor-čas . Pravzaprav lahko časovno evolucijo vseh Lagrangijevih sistemov obravnavamo kot gibanje vzdolž geodezije v posebnem prostoru. Tako je mogoče predstaviti celotno teorijo merilnih polj .

Diferencialna geometrija

Kolektorji z afinsko povezavo

V sortah z afino povezavo geodezija je krivulja ki izpolnjuje enačbo

V koordinatni obliki lahko to enačbo prepišete z uporabo Christoffelovih simbolov :

kje - koordinate krivulje.

Z drugimi besedami, krivulja je geodetska, če vektor, ki je vzporeden s krivuljo v začetni točki, ki je vzporeden s krivuljo v začetni točki, ostane povsod tangenten.

Riemannove in psevdo-Riemannove mnogoterosti

V Riemanovih in psevdo-riemanovih prostorih je geodezija opredeljena kot kritična krivulja energijskega integrala:

tukaj - krivulja v prostoru, - metrična . (V fiziki se ta integral običajno imenuje akcijski integral .)

Ta pogoj je enakovreden:

vzdolž celotne krivulje, kjer označuje povezljivost Levi-Civita .

Metrična geometrija

V metričnih prostorih je geodezija opredeljena kot lokalno najkrajša pot z enotno parametrizacijo (pogosto z naravnim parametrom ).

V skladu z Gaussovo lemo ta definicija za Riemannove mnogoternike opredeljuje isti razred krivulj kot diferencialno-geometrična definicija zgoraj.

Uporaba v fiziki

Geodetske črte se aktivno uporabljajo v relativistični fiziki. Na primer, trajektorija prosto padajočega nenabitega testnega telesa v splošni teoriji relativnosti in na splošno v metričnih teorijah gravitacije je geodetska črta največjega lastnega časa , to je čas , ki ga meri ura, ki se premika s telesom.

Pogosto fizični teorija, da je dejanje ali je izražena v Hamiltonovega obliki je mogoče preoblikovati kot problem iskanja geodetskih linij na nekaterih Riemannian ali psevdo-Riemannian kolektorja.

Poglej tudi

Literatura