Začetni in robni pogoji

V teoriji diferencialnih enačb sta začetni in robni pogoj dodatek k osnovni diferencialni enačbi ( navadni ali v delnih izpeljankah ), ki določa njeno obnašanje v začetnem trenutku oziroma na meji obravnavane regije.

Običajno diferencialna enačba nima ene rešitve, temveč celo družino. Začetni in mejni pogoji omogočajo izbiro enega od njih, ki ustreza resničnemu fizikalnemu procesu ali pojavu. V teoriji navadnih diferencialnih enačb je dokazan izrek obstoja in edinstvenosti za rešitev problema z začetnim pogojem (ti Cauchyev problem ). Za delne diferencialne enačbe so pridobljeni nekateri teoremi obstoja in edinstvenosti za rešitve za določene razrede začetnih in mejnih problemov.

Terminologija

Včasih se začetni pogoji v nestacionarnih problemih, kot je reševanje hiperboličnih ali paraboličnih enačb, imenujejo tudi robni pogoji.

Za stacionarne probleme obstaja delitev mejnih pogojev na glavne in naravne .

Glavni pogoji so običajno v obliki $u(\partial \Omega )=g$ ${\ displaystyle u (\ delno \ Omega) = g}$ $u (\ delno \ Omega) = g$ , kje $\partial \Omega$ ${\ displaystyle \ delno \ Omega}$ $\ delno \ Omega$ - meja območja $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ ...

Naravni pogoji vsebujejo tudi izvod rešitve vzdolž normale na mejo.

Primer

Enačba ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = - g}$ ${\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = - g$ opisuje gibanje telesa v gravitacijskem polju . Zadovoljuje jo katera koli kvadratna funkcija oblike $y(t)=-gt^{2}/2+at+b,$ ${\ displaystyle y (t) = - gt ^ {2} / 2 + at + b,}$ ${\ displaystyle y (t) = - gt ^ {2} / 2 + at + b,}$ kje $a, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ - poljubne številke. Da bi poudarili določen zakon gibanja, je treba navesti začetno koordinato telesa in njegovo hitrost, torej začetne pogoje .

Pravilnost postavitve mejnih pogojev

Problemi matematične fizike opisujejo resnične fizikalne procese, zato mora njihova formulacija izpolnjevati naslednje naravne zahteve:

Rešitev mora obstajati v nekem razredu funkcij;
Rešitev mora biti edinstvena v katerem koli razredu funkcij;
Rešitev mora stalno biti odvisna od podatkov (začetni in robni pogoji, prestrezanje, koeficienti itd.).

Zahteva po kontinuirani odvisnosti rešitve je posledica dejstva, da se fizikalni podatki praviloma približno določijo iz eksperimenta, zato je treba biti prepričan, da je rešitev problema v okviru izbranega matematičnega modela ne bo bistveno odvisna od merilne napake. Matematično lahko to zahtevo zapišemo na primer na naslednji način (za neodvisnost od prestreza):

Naj bosta podani dve diferencialni enačbi: $Lu=F_{1},~Lu=F_{2}$ ${\ displaystyle Lu = F_ {1}, ~ Lu = F_ {2}}$ $Lu = F_ {1}, ~ Lu = F_ {2}$ z enakimi diferencialnimi operaterji in enakimi robnimi pogoji, bodo njihove rešitve nenehno odvisne od prostega člena, če:

\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_{1}-F_{2}\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1}-u_{2}\|<\varepsilon \right)

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 ~ \ obstaja \ delta> 0: ~ \ levo (\ | F_ {1} -F_ {2} \ | <\ delta \ desno) \ Desno \ levo (\ | u_ {1 } -u_ {2} \ | <\ varepsilon \ desno)}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 ~ \ obstaja \ delta> 0: ~ \ levo (\ | F_ {1} -F_ {2} \ | <\ delta \ desno) \ Desno \ levo (\ | u_ {1 } -u_ {2} \ | <\ varepsilon \ desno)}

, kje

u_{1}

{\ displaystyle u_ {1}}

u_ {1}

,

u_{2}

{\ displaystyle u_ {2}}

{\ displaystyle u_ {2}}

- rešitve ustreznih enačb.

Nabor funkcij, za katerega so izpolnjene navedene zahteve, imenujemo razred pravilnosti . Nepravilna formulacija mejnih pogojev je dobro prikazana na primeru Hadamarda .

Poglej tudi

Literatura

Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Enačbe matematične fizike. - Fizmatlit, 2004 .-- ISBN 5-9221-0310-X .
Akhtyamov AM Teorija identifikacije mejnih pogojev in njene uporabe. - M .: Fizmatlit, 2009.
Akhtyamov A.M. , Sadovnichy V.A. , Sultanaev Ya.T. Inverzni Sturm-Liouville problemi z nerazpadajočimi mejnimi pogoji. - M .: Založba Moskovske univerze, 2009.