Zaokroževanje

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Pojdi na navigacijo Pojdi na iskanje

Zaokroževanje - zamenjava števila z njegovo približno vrednostjo (z določeno natančnostjo ), zapisano z manjšim številom pomembnih števk. Modul razlike med nadomestno številko in nadomestno številko se imenuje napaka zaokroževanja .

Zaokroževanje se uporablja za predstavitev vrednosti in rezultatov izračuna s toliko števkami, kot je dejanska natančnost meritve ali izračuna ali natančnost, ki jo zahteva vaša aplikacija. Zaokroževanje pri ročnih izračunih se lahko uporabi tudi za poenostavitev izračunov v primerih, ko vnesena napaka zaradi napake zaokroževanja ne presega meja sprejemljive računske napake.

Splošno zaokroževanje in terminologija

  • Število, zapisano v pozicijskem številčnem sistemu z M decimalnimi mesti, lahko zaokrožimo "na K-to decimalno mesto", kjer je K ≤ M. S tem zaokroževanjem se številke v zapisu zavržejo od desnih (MK) pomembnih števk in K-ta številka za vejico se lahko spremeni (glejte # Metode ). Uporablja se tudi terminologija, ki označuje enoto najmanjšega decimalnega ulomka, ki jo obdrži zaokroženo število, to je "zaokroževanje na desetinke", "... na stotinke", "... na tisočinke" itd. (ustreza zaokroževanju na eno, dve , tri itd. dalje decimalna mesta). Poseben primer, ko je K = 0, se imenuje "zaokroževanje na celo število".
  • Ko se pomembne števke celega dela števila med zaokroževanjem zavržejo, govorijo o "zaokroževanju na desetine" (stotine, tisoče itd.), pri čemer se zavržejo en, dva, tri ali več znakov. To zaokroževanje zamenja zavržena cela števila z ničlami.
  • Za števila, predstavljena v normalizirani obliki , govorijo o "zaokroževanju na K (pomembnih) števk." V tem primeru mantisa števila obdrži K pomembnih števk, preostale številke na desni se zavržejo.

Metode

Različna področja lahko uporabljajo različne metode zaokroževanja. Pri vseh teh metodah so "dodatni" predznaki nastavljeni na nič (zavrženi), prejšnji predznak pa se popravi po nekem pravilu.

  • Zaokroževanje na najbližje celo število je najpogosteje uporabljeno zaokroževanje, pri katerem se število zaokroži na najbližje celo število, modul razlike, s katerim je to število minimalno. V splošnem primeru, ko je število v decimalnem sistemu zaokroženo na N-to decimalno mesto, lahko pravilo oblikujemo na naslednji način:
    • če je N + 1 predznak <5 , se N-ti predznak ohrani, N + 1 in vsi naslednji pa so nastavljeni na nič;
    • če je N + 1 predznak ≥ 5 , potem se N-ti predznak poveča za eno, N + 1 in vse naslednje pa se znižajo na nič;
    Na primer: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
    Največja dodatna absolutna napaka, ki jo povzroči to zaokroževanje (napaka zaokroževanja), je ± 0,5 zadnje shranjene števke.
  • Zaokroževanje navzgor (zaokroževanje na + ∞, zaokroževanje navzgor, angleški strop - lit. "ceiling") - če predznaki, ki jih je treba znižati, niso enaki nič, se prejšnji predznak poveča za eno, če je število pozitivno, ali ostane, če število je negativno. V ekonomskem žargonu, zaokroževanje v korist prodajalca , upnika (osebe, ki prejme denar). Zlasti 2,6 → 3, −2,6 → −2. Napaka zaokroževanja - znotraj +1 od zadnje shranjene števke.
  • Zaokroževanje navzdol (zaokroževanje navzdol na −∞, zaokroževanje navzdol, angleška tla - lit. "tla") - če predznaki, ki jih je treba znižati, niso enaki nič, se prejšnji predznak ohrani, če je število pozitivno, ali poveča za eno, če število je negativno. V ekonomskem žargonu zaokroževanje v korist kupca , dolžnika (osebe, ki daje denar). Tukaj je 2,6 → 2, −2,6 → −3. Napaka zaokroževanja je znotraj −1 zadnje shranjene števke.
  • Zaokroževanje v absolutni vrednosti (zaokroževanje proti neskončnosti, zaokroževanje stran od nič) je razmeroma redko uporabljena oblika zaokroževanja. Če ničelni znaki niso nič, se prejšnji znak poveča za eno. Napaka zaokroževanja je +1 za zadnjo številko za pozitivna števila in -1 za zadnjo številko za negativna števila.
  • Zaokroževanje na manjšo absolutno vrednost (zaokroženo na nič, celotna angleščina. Popravek, The truncate, integer The) - najbolj "preprost" krog, ker po ponastavitvi "dodatnih" znakov pred shrambo, torej tehnično je dajanje dodatnih znakov. Na primer, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1). S takšnim zaokroževanjem se lahko vnese napaka znotraj enote zadnje shranjene števke, pri čemer je v pozitivnem delu številske osi napaka vedno negativna, v negativnem delu pa pozitivna.
  • Naključno zaokroževanje - zaokrožitev navzgor ali navzdol v naključnem vrstnem redu, medtem ko je verjetnost zaokroževanja navzgor enaka ulomnemu delu. Ta metoda naredi kopičenje napak naključno vrednost z ničelnim matematičnim pričakovanjem.

Možnosti zaokroževanja 0,5 na najbližje celo število

Ločen opis je potreben za pravila zaokroževanja za poseben primer, ko je (N + 1) th predznak = 5, naslednji znaki pa so enaki nič . Če v vseh drugih primerih zaokroževanje na najbližje celo število zagotavlja manjšo napako pri zaokroževanju, je za ta primer značilno, da je za posamezno zaokroževanje formalno vseeno, ali ga narediti "navzgor" ali "dol" - v obeh primerih, vnese se napaka natanko 1/2 najmanjše pomembne števke ... Za ta primer obstajajo naslednje različice pravila zaokroževanja na najbližje celo število:

  • Matematično zaokroževanje [ vir ni določen 278 dni ] - zaokroževanje je vedno navzgor v absolutni vrednosti (prejšnja številka se vedno poveča za eno).
  • Zaokroževanje na najbližje sodo število (v angleščini je znano kot angleško bankir's rounding) - v tem primeru pride do zaokroževanja na najbližje sodo število, to je 2,5 → 2; 3,5 → 4.
  • Naključno zaokroževanje - zaokroževanje navzgor ali navzdol v naključnem vrstnem redu, vendar z enako verjetnostjo (lahko se uporablja v statistiki).
  • Izmenično zaokroževanje - izmenično zaokroževanje navzgor ali navzdol.

V vseh variantah v primeru, ko (N + 1)-ti predznak ni enak 5 ali naslednji predznaki niso enaki nič, se zaokroži po običajnih pravilih: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Matematično zaokroževanje samo formalno sledi splošnemu pravilu zaokroževanja (glej zgoraj). Njegova pomanjkljivost je, da pri zaokroževanju velikega števila vrednosti, ki se bodo dodatno obdelale skupaj, lahko pride do kopičenja napak pri zaokroževanju. Tipičen primer: zaokroževanje denarnih zneskov, izraženih v rubljih in kopejkih, na cele rublje. V registru z 10.000 vrsticami (če upoštevamo peni del vsakega zneska kot naključno število z enakomerno porazdelitvijo, kar je običajno povsem sprejemljivo) bo v povprečju približno 100 vrstic z zneski, ki vsebujejo vrednost 50 v delu. Ko so vse takšne vrstice zaokrožene v skladu s pravili matematičnega zaokroževanja " navzgor ", bo vsota" skupnega "za zaokroženega registra 50 rubljev natančnejša.

Ostale tri možnosti so izumljene samo zato, da bi zmanjšali skupno napako vsote pri zaokroževanju velikega števila vrednosti. Zaokroževanje na najbližji sodo temelji na predpostavki, da bo za zaokroževanje velikega števila vrednosti, ki imajo 0,5 v preostanku, ki se zaokrožuje, v povprečju polovica levo in polovica desno od najbližjega soda , tako bodo napake pri zaokroževanju izginile. Strogo gledano, ta predpostavka velja le takrat, ko ima niz številk, ki jih je treba zaokrožiti, lastnosti naključnega niza, kar običajno velja v računovodskih aplikacijah, kjer govorimo o cenah, zneskih na računih itd. Če je predpostavka kršena, lahko zaokroževanje na "sodo" povzroči sistematične napake. V takih primerih se najbolje obneseta naslednji dve metodi.

Zadnji dve možnosti zaokroževanja zagotavljata, da je približno polovica posebnih vrednosti zaokrožena v eno smer in polovica v drugo. Toda izvajanje takšnih metod v praksi zahteva dodatne napore za organizacijo računalniškega procesa.

  • Naključno zaokroževanje zahteva generiranje naključnega števila za vsako vrstico zaokroževanja. Pri uporabi psevdonaključnih števil, generiranih z linearno ponavljajočo se metodo, generiranje vsakega števila zahteva operacijo množenja, seštevanja in deljenja po modulu, kar lahko znatno upočasni izračune za velike količine podatkov.
  • Izmenično zaokroževanje zahteva shranjevanje zastave, ki označuje, v katero smer je bila posebna vrednost nazadnje zaokrožena, in preklop vrednosti te zastave pri vsaki operaciji.

Oznake

Operacija zaokroževanja x na večje (navzgor) je prikazana na naslednji način: ... Podobno zaokrožimo na nižjo (navzdol) . ... Te simbole (kot tudi angleška imena teh operacij, oziroma strop in tla , dobesedno "ceiling" in "floor") je [1] uvedel K. Iverson v svojem delu A Programming Language [2] , ki opisuje sistem matematičnega zapisa, kasneje razvit v programski jezik APL . Iversonov zapis za operacije zaokroževanja je populariziral D. Knuth v svoji knjigi The Art of Programming [3] .

Po analogiji je zaokroževanje na najbližje celo število pogosto označeno kot ... V nekaterih prejšnjih in sodobnih (do konca 20. stoletja) delih je bilo tako nakazano zaokroževanje navzdol; ta uporaba te oznake sega v Gaussovo delo leta 1808 (njegov tretji dokaz kvadratnega zakona vzajemnosti ). Poleg tega je enak zapis uporabljen (z drugačnim pomenom) v Iversonovem zapisu . [ena]

V standardu Unicode so določeni naslednji znaki:

ime
v unicode
Unicode koda Ogled Mnemonika
v HTML 4
Opombe (uredi)
Hex decimalka
LEVI STROP (tudi APL upstile) 2308 8968 & lceil; ne smemo zamenjati z:
  • U + 2E22 ⸢ - Zgornji levi polovični oklepaj
  • U + 300C 「- Levi kotni nosilec
PRAVI STROP 2309 8969 & rceil; ne smemo zamenjati z:
  • U + 20E7 ◌⃧ - Kombinacija simbola rente
  • U + 2E23 ⸣ - Zgornji desni polovični nosilec
LEVO NADSTROPJE (tudi APL navzdol) 230A 8970 & lfloor; ne smemo zamenjati z:
  • U + 2E24 ⸤ - Spodnji levi polovični oklepaj
DESNO NADSTROPJE 230B 8971 & rtal; ne smemo zamenjati z:
  • U + 2E25 ⸥ - Spodnji desni polovični nosilec
  • U + 300D 」- Desni kotni nosilec

Aplikacije

Zaokroževanje se uporablja za delo s številkami znotraj števila števk, ki ustreza dejanski natančnosti parametrov izračuna (če so te vrednosti resnične vrednosti, izmerjene na tak ali drugačen način), dejansko dosegljiva natančnost izračunov , ali želeno natančnost rezultata. V preteklosti je bilo zaokroževanje vmesnih vrednosti in rezultatov praktičnega pomena (saj lahko pri izračunu na papirju ali uporabi primitivnih naprav, kot je abakus, upoštevanje dodatnih decimalnih mest resno poveča obseg dela). Zdaj ostaja element znanstvene in inženirske kulture. V računovodskih aplikacijah je poleg tega morda potrebna uporaba zaokrožitev, vključno z vmesnimi, za zaščito pred računskimi napakami, povezanimi s končno bitno širino računalniških naprav.

Še več, nekatere študije uporabljajo zaokroževanje starosti za merjenje številske pismenosti . To je posledica dejstva, da manj izobraženi ljudje raje zaokrožujejo svojo starost, namesto da bi bili natančni. Na primer, v uradnih evidencah prebivalstva z nižjo stopnjo človeškega kapitala se pogosteje pojavlja starost 30 let kot starost 31 ali 29 let [4] .

Zaokroževanje pri delu s številkami z omejeno natančnostjo

Realne fizikalne količine se vedno merijo z določeno končno natančnostjo , ki je odvisna od instrumentov in merilnih metod in je ocenjena z največjim relativnim ali absolutnim odklonom neznane prave vrednosti od izmerjene, ki v decimalnem prikazu vrednosti ustreza bodisi določenemu število pomembnih števk ali na določeno mesto v zapisu številk, pri čemer so vsa števila za (desno) nepomembna (ležijo znotraj merilne napake ). Sami izmerjeni parametri so zabeleženi s tolikšnim številom števk, da so vse številke zanesljive, morda je zadnja dvomljiva. Napaka pri matematičnih operacijah s številom omejene natančnosti se ohranja in spreminja po znanih matematičnih zakonitostih, zato je, ko se v nadaljnjih izračunih pojavijo vmesne vrednosti in rezultati z velikim številom števk, pomemben le del teh števk. Preostale številke, ki so prisotne v vrednostih, dejansko ne odražajo nobene fizične realnosti in zahtevajo le čas za izračune. Posledično se vmesne vrednosti in rezultati izračunov z omejeno natančnostjo zaokrožijo na število števk, ki odražajo dejansko natančnost dobljenih vrednosti. V praksi je običajno priporočljivo za dolge "verižne" ročne izračune shraniti še eno številko v vmesnih vrednostih. Pri uporabi računalnika vmesna zaokroževanja v znanstvenih in tehničnih aplikacijah najpogosteje izgubijo pomen, zaokroži se le rezultat.

Torej, na primer, če je sila 5815 gf določena z natančnostjo grama sile in dolžino roke 1,40 m s natančnostjo centimetra, potem je moment sile v kgf po formuli , v primeru formalnega izračuna z vsemi predznaki bo enako: 5,815 kgf • 1,4 m = 8,141 kgf • m . Če pa upoštevamo merilno napako, potem dobimo, da je mejna relativna napaka prve vrednosti 1/5815 ≈ 1,7 • 10 −4 , druge - 1/140 ≈ 7,1 • 10 −3 , relativna napaka rezultata po pravilu napake delovanja množenja (pri množenju približnih vrednosti se seštejejo relativne napake) bo 7,3 • 10 −3 , kar ustreza največjemu absolutnemu pogrešku rezultata ± 0,059 kgf • m! To pomeni, da je v resnici ob upoštevanju napake lahko rezultat od 8,082 do 8,200 kgf • m, tako da je pri izračunani vrednosti 8,141 kgf • m le prva številka popolnoma zanesljiva, tudi druga je že dvomljiva ! Pravilno bo zaokrožiti rezultat izračuna na prvo dvomljivo številko, to je na desetinke: 8,1 kgf • m, ali, če potrebujete natančnejšo navedbo meje napake, ga predstavite v obliki, zaokroženi na eno ali dve decimalni mesti z navedbo napake: 8 , 14 ± 0,06 kgf • m .

Zaokrožitev izračunane vrednosti napake

Običajno ostaneta v končni vrednosti izračunane napake le prva ena ali dve pomembni števki. Po enem od veljavnih pravil, če se vrednost napake začne s številkami 1 ali 2 [5] (po drugem pravilu - 1, 2 ali 3 [6] ), potem sta v njej shranjeni dve pomembni števki, v drugih primerih - ena, na primer: 0 ,trinajst; 0,26; 0,3; 0.8. To pomeni, da je vsako desetletje možnih vrednosti napake zaokroževanja razdeljeno na dva dela. Pomanjkljivost tega pravila je, da se relativna napaka zaokroževanja spremeni za pomemben skok pri prehodu z 0,29 na 0,3. Da bi to odpravili, se predlaga, da se vsako desetletje možnih vrednosti napak razdeli na tri dele z manj nenadno spremembo koraka zaokroževanja. Potem ima število dovoljenih za uporabo zaokroženih vrednosti napake obliko:

  • 0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18;
  • 0,20; 0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45;
  • 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.0.

Pri uporabi takšnega pravila pa morajo zadnje števke samega rezultata, ki ostanejo po zaokroževanju, ustrezati dani seriji [5] .

Pretvorba vrednosti fizikalnih veličin

Preračun vrednosti fizične količine iz enega sistema enot v drugega je treba izvesti ob ohranjanju točnosti prvotne vrednosti. Če želite to narediti, je treba prvotno vrednost v nekaterih enotah pomnožiti (deliti) s pretvorbenim faktorjem, ki pogosto vsebuje veliko število pomembnih števk, rezultat pa je treba zaokrožiti na število pomembnih števk, ki zagotavlja točnost izvirnika. vrednost. Na primer, ko pretvarjate silo 96,3 tf v vrednost, izraženo v kilonewtonih (kN), prvotno vrednost pomnožite s pretvorbenim faktorjem 9,80665 (1 tf = 9,80665 kN). Rezultat je vrednost 944,380395 kN, ki jo je treba zaokrožiti na tri pomembne številke. Namesto 96,3 tf dobimo 944 kN [7] .

Pravila za zaokroževanje aritmetike

В тех случаях, когда нет необходимости в точном учёте вычислительных погрешностей, а требуется лишь приблизительно оценить количество точных цифр в результате расчёта по формуле, можно пользоваться набором простых правил округлённых вычислений [8] :

  1. Все исходные значения округляются до реальной точности измерений и записываются с соответствующим числом значащих цифр, так, чтобы в десятичной записи все цифры были надёжными (допускается, чтобы последняя цифра была сомнительной). При необходимости значения записываются со значащими правыми нулями, чтобы в записи указывалось реальное число надёжных знаков (например, если длина в 1 м реально измерена с точностью до сантиметров, записывается «1,00 м», чтобы было видно, что в записи надёжны два знака после запятой), или точность явно указывается (например, 2500±5 м — здесь надёжными являются только десятки, до них и следует округлять).
  2. Промежуточные значения округляются с одной «запасной» цифрой.
  3. При сложении и вычитании результат округляется до последнего десятичного знака наименее точного из параметров (например, при вычислении значения 1,00 м + 1,5 м + 0,075 м результат округляется до десятых метра, то есть до 2,6 м). При этом рекомендуется выполнять вычисления в таком порядке, чтобы избегать вычитания близких по величине чисел и производить действия над числами по возможности в порядке возрастания их модулей.
  4. При умножении и делении результат округляется до наименьшего числа значащих цифр, которое имеют множители или делимое и делитель. Например, если тело при равномерном движении прошло дистанцию 2,5⋅10 3 метров за 635 секунд , то при вычислении скорости результат должен быть округлён до 3,9 м/с , поскольку одно из чисел (расстояние) известно лишь с точностью до двух значащих цифр.
    Важное замечание: если один операндов при умножении или делитель при делении является по смыслу целым числом (то есть не результатом измерений непрерывной физической величины с точностью до целых единиц, а, например, количеством или просто целой константой), то количество значащих цифр в нём на точность результата операции не влияет, и оставляемое число цифр определяется только вторым операндом. Например, кинетическая энергия тела массой 0,325 кг , движущегося со скоростью 5,2 м/с , равна Дж — округляется до двух знаков (по количеству значащих цифр в значении скорости), а не до одного (делитель 2 в формуле), так как значение 2 по смыслу — целая константа формулы, она является абсолютно точной и не влияет на точность вычислений (формально такой операнд можно считать «измеренным с бесконечным числом значащих цифр»).
  5. При возведении в степень в результате вычисления следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.
  6. При извлечении корня любой степени из приближённого числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.
  7. При вычислении значения функции требуется оценить значение модуля производной этой функции в окрестности точки вычисления. Если , то результат функции точен до того же десятичного разряда, что и аргумент. В противном случае результат содержит меньше точных десятичных разрядов на величину , округлённую до целого в большую сторону.

Несмотря на нестрогость, приведённые правила достаточно хорошо работают на практике, в частности, из-за достаточно высокой вероятности взаимопогашения ошибок, которая при точном учёте погрешностей обычно не учитывается.

Ошибки

Довольно часто встречаются злоупотребления некруглыми числами. Например:

  • Записывают числа, имеющие невысокую точность, в неокруглённом виде. В статистике: если 4 человека из 17 ответили «да», то пишут «23,5 %» (в то время как верно «24 %», так как число значащих цифр в исходных данных не более двух ).
  • Пользователи стрелочных приборов иногда размышляют так: «стрелка остановилась между 5,5 и 6 ближе к 6, пусть будет 5,8» — такое рассуждение некорректно. ( Градуировка прибора, как правило, соответствует его реальной точности, правильным будет зафиксировать значение «6».

Интересный факт

  • Карл Фридрих Гаусс отмечал: «Недостатки математического образования с наибольшей отчётливостью проявляются в чрезмерной точности численных расчётов» [9] .

См. также

Примечания

  1. 1 2 Floor Function — from Wolfram MathWorld
  2. Iverson, Kenneth E. A Programming Language (неопр.) . — Wiley, 1962. — ISBN 0-471-43014-5 . Архивированная копия (недоступная ссылка) . Дата обращения: 8 августа 2015. Архивировано 4 июня 2009 года.
  3. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming. Volume 1. Fundamental Algorithms / под ред. С. Г. Тригуб (гл. 1), Ю. Г. Гордиенко (гл. 2) и И. В. Красикова (разд. 2.5 и 2.6). — 3. — Москва: Вильямс, 2002. — Т. 1. — 720 с. — ISBN 5-8459-0080-8 .
  4. A'Hearn, B., J. Baten, D. Crayen (2009). «Quantifying Quantitative Literacy: Age Heaping and the History of Human Capital», Journal of Economic History 69, 783—808.
  5. 1 2 Округление результатов измерений . www.metrologie.ru. Дата обращения: 10 августа 2019.
  6. 1.3.2. Правила округления значения погрешности и записи . StudFiles. Дата обращения: 10 августа 2019.
  7. Правила пересчета значений физических величин | Единицы физических величин . sv777.ru. Дата обращения: 8 августа 2019.
  8. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. Техника вычислений и алгоритмизация: Вводный курс: Учебное пособие для студентов педагогических институтов по физико-математическим специальностям. — М: Просвещение, 1987. 160 с.: ил.
  9. цит. по В. Гильде, З. Альтрихтер. «С микрокалькулятором в руках». Издание второе. Перевод с немецкого Ю. А. Данилова. М:Мир, 1987, стр. 64.

Литература

  • Генри С. Уоррен, мл. Глава 3. Округление к степени 2 // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker's Delight. — М. : «Вильямс» , 2007. — С. 288. — ISBN 0-201-91465-4 .

Ссылки