Fourierjeva serija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Pojdi na navigacijo Pojdi na iskanje
Rezultati seštevanja členov Fourierovega niza pri aproksimaciji diskontinuirane kosično konstantne funkcije. Vrhovi na frontah so posledica neenakomerne konvergence Fourierjevega niza na točkah diskontinuitete ( Gibbsov fenomen [en] ).

Število Fourier - predstavitev funkcije s piko kot vrstica

To serijo lahko zapišemo tudi kot

kje

- amplituda th harmonične vibracije,
- krožna frekvenca harmoničnih vibracij,
- začetna faza - oklevanje,
- -th kompleksna amplituda

V bolj splošni obliki je Fourierjeva vrsta elementa določenega prostora funkcij razširitev tega elementa v popoln sistem ortonormalnih funkcij ali z drugimi besedami v bazi, sestavljeni iz ortogonalnih funkcij . Glede na vrsto uporabljene integracije govorimo o Fourier-Riemannu , Fourier-Lebesgueu itd. [1]

Obstaja veliko sistemov ortogonalnih polinomov in drugih ortogonalnih funkcij (na primer funkcije Haar , Walsh in Kotelnikov), v katerih je mogoče funkcijo razširiti v Fourierjevo vrsto.

Razširitev funkcije v Fourierjevo serijo je močno orodje za reševanje najrazličnejših problemov zaradi dejstva, da se Fourierjeva serija obnaša pregledno pri diferenciaciji , integraciji , premikanju funkcije z argumentom in zvijanju funkcij.

Obstajajo številne posplošitve Fourierovih vrst v različnih vejah matematike. Na primer, katero koli funkcijo na končni skupini je mogoče razširiti v vrsto, podobno Fourierjevi vrsti v matričnih elementih nereducibilnih predstavitev te skupine ( izrek popolnosti ).

Zgodba

Fourierjeva vrsta je dobila ime po francoskem matematiku Jean-Baptiste Josephu Fourierju (1768-1830), ki je po predhodnih raziskavah Leonarda Eulerja , Jeana Lerona d'Alemberta in Daniela Bernoullija pomembno prispeval k študiju trigonometričnih vrst [2] . Fourier je predstavil serijo z namenom reševanja enačbe toplotne prevodnosti v kovinski plošči, svoje začetne rezultate je zapisal v "Spomin na širjenje toplote v trdnih snoveh" ("Traktat o širjenju toplote v trdnih snoveh") in objavil v Analitični teoriji toplote (Théorie analytique de la chaleur) leta 1822. V Reminiscenci je podana Fourierjeva analiza, zlasti Fourierjeva vrsta. Zahvaljujoč Fourierjevi raziskavi je bilo ugotovljeno, da je poljubno (kontinuirano) [3] funkcijo mogoče predstaviti s trigonometričnim nizom. Prvo oznanilo tega velikega odkritja je Fourier izdal leta 1807 pred francosko akademijo [4] . Najzgodnejše ideje za razgradnjo periodične funkcije na vsoto preprostih nihajnih funkcij segajo v 3. stoletje pred našim štetjem, ko so stari astronomi predlagali empirični model gibanja planetov, ki temelji na družinah in epiciklih.

Toplotna enačba je delna diferencialna enačba. Pred Fourierjevim delom v splošnem primeru rešitev toplotne enačbe ni bila znana, čeprav so bile znane specifične rešitve, če se je vir toplote obnašal na preprost način, zlasti če je bil vir toplote sinusni ali kosinusni val. Te preproste rešitve se zdaj včasih imenujejo lastniške rešitve. Fourierjeva ideja je bila modelirati kompleksen vir toplote kot superpozicijo (ali linearno kombinacijo) preprostih sinusnih in kosinusnih valov in zapisati rešitev kot superpozicijo ustreznih lastnih rešitev. Ta superpozicija ali linearna kombinacija se imenuje Fourierjeva vrsta.

S sodobnega vidika so Fourierjevi rezultati nekoliko neformalni zaradi pomanjkanja natančnega koncepta funkcije in integrala v začetku devetnajstega stoletja. Kasneje sta Peter Gustav Lejeune Dirichlet [5] in Bernhard Riemann [6] [7] [8] Fourierjeve rezultate izrazila z večjo natančnostjo in formalnostjo.

Čeprav je bila prvotna motivacija reševanje toplotne enačbe, je pozneje postalo očitno, da je mogoče iste metode uporabiti za širok spekter matematičnih in fizikalnih problemov, zlasti za tiste, ki vključujejo linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti, za katere so lastne rešitve sinusoidi. Fourierjeva serija ima veliko aplikacij v elektrotehniki, analizi vibracij, akustiki, optiki, obdelavi signalov, obdelavi slik, kvantni mehaniki, ekonometriki [9] , teoriji prekrivne lupine [10] itd.

Trigonometrična Fourierjeva serija

Trigonometrična Fourierjeva vrsta funkcije (to je funkcija, seštevana po intervalu ali njegovo periodično nadaljevanje do realne črte) se imenuje funkcionalna vrsta oblike

(ena)

kje

Številke , in ( ) se imenujejo Fourierjevi koeficienti funkcije ... Formule zanje je mogoče razložiti na naslednji način. Recimo, da želimo predstaviti funkcijo v obliki serije (1) in določiti moramo neznane koeficiente , in ... Če pomnožimo desno stran (1) z in integrirati v razponu , potem vsi členi na desni strani zaradi ortogonalnosti sinusov in kosinusov na tem intervalu izginejo, razen enega. Iz dobljene enakosti je koeficient enostavno izražen ... Prav tako za ...

Vrstica (1) za funkcijo brez prostora konvergira v tem prostoru. Z drugimi besedami, če označimo z delne vsote serije (1):

,

nato njihov standardni odklon od funkcije bo težil k ničli:

...

Kljub povprečni kvadratni konvergenci Fourierjeva vrsta funkcije na splošno ni dolžna konvergirati k njej točkovno.

Pogosto je pri delu s Fourierjevimi vrstami bolj priročno uporabiti eksponente imaginarnega argumenta kot osnovo namesto sinusov in kosinusov. Upoštevamo prostor skalarne funkcije produkta kompleksne vrednosti

...

Upoštevamo tudi sistem funkcij

...

Tako kot prej so te funkcije parno ortogonalne in tvorijo celoten sistem in s tem katero koli funkcijo se lahko po njih razširi v Fourierjevo serijo:

,

kjer se niz na desni strani konvergira po stopnji v ... tukaj

...

Kvote so povezani s klasičnimi Fourierjevimi koeficienti z naslednjimi razmerji:

Za funkcijo z realno vrednostjo so koeficienti in so kompleksno konjugirani.

Posplošitve

Fourierjeva vrsta v Hilbertovem prostoru

Zgoraj opisano konstrukcijo lahko posplošimo iz primera prostora s trigonometričnim sistemom na poljuben Hilbertov prostor. Naj je podan ortogonalni sistem v Hilbertovem prostoru in - poljuben element iz ... Recimo, da želimo predstavljati kot (neskončna) linearna kombinacija elementov :

Ta izraz pomnožimo z ... Ob upoštevanju ortogonalnosti sistema funkcij vsi izrazi serije izginejo, razen izraza pri :

Številke

imenujemo koordinate ali Fourierjevi koeficienti elementa po sistemu in vrstica

se imenuje Fourierjeva vrsta elementa po ortogonalnem sistemu ...

Fourierjeva vrsta katerega koli elementa v katerem koli ortogonalnem sistemu konvergira v prostoru , vendar njegova vsota ni nujno enaka ... Za ortonormalni sistem v ločljivem Hilbertovem prostoru so naslednji pogoji enakovredni:

  • sistem je osnova , to pomeni, da je vsota Fourierjevega niza katerega koli elementa enaka temu elementu.
  • sistem je popoln , torej v ni ničelnega elementa, ki bi bil ortogonalen na vse elemente hkrati.
  • sistem je zaprt , torej za katero koli Velja Parsevalova enakost
...
  • linearne kombinacije elementov gosto v prostoru ...

Če ti pogoji niso izpolnjeni, potem je vsota Fourierjevega niza elementa je enaka njegovi ortogonalni projekciji na zaprtje linearne ovojnice elementov ... V tem primeru namesto Parsevalove enakosti velja Besselova neenakost :

Pontryagin dvojnost

Pri posploševanju teorije Fourierovih vrst na primer Hilbertovih prostorov se izgubijo lastnosti, ki izražajo povezavo Fourierovih vrst z konvolucijo – da so Fourierjevi koeficienti konvolucije funkcij člen za členom produkti njihovih Fourierovih koeficientov in obratno, Fourierjevi koeficienti produkta so predstavljeni s konvolucijo Fourierovih koeficientov faktorjev. Te lastnosti so ključne za uporabo Fourierjeve teorije pri reševanju diferencialnih , integralnih in drugih funkcionalnih enačb. Zato so takšne posplošitve teorije Fourierovih vrst, pri katerih so te lastnosti ohranjene, zelo zanimive. Takšna posplošitev je Pontryaginova teorija dualnosti. Upošteva funkcije, definirane na lokalno kompaktnih abelovih skupinah . Analog Fourierovega niza takšne funkcije je funkcija, definirana na dualni skupini.

Konvergenca Fourierjevih vrst

Konvergenca Fourierjevih vrst

Pregled rezultatov o konvergenci Fourierjeve vrste

Označimo z delne vsote Fourierjevega niza funkcije :

...

Nato razpravljamo o konvergenci zaporedja funkcij delovati v različnih pomenih. Funkcija domnevno -periodično (če je navedeno samo na intervalu , se lahko občasno nadaljuje).

  • Če , nato zaporedje konvergira funkciji v kakšnem smislu ... Poleg tega so najboljši (v smislu razdalje v ) s približkom funkcije trigonometrični polinom stopnje največ ...
  • Konvergenca Fourierjevega niza v dani točki - lokalna lastnost, torej če funkcije in sovpadajo v neki soseski , nato zaporedja in bodisi se istočasno razhajajo ali se istočasno zbližujejo, v tem primeru njune meje sovpadajo. (Načelo lokalizacije).
  • Če je funkcija diferenciran na točki , potem njena Fourierjeva vrsta na tej točki konvergira k ... Natančnejši zadostni pogoji v smislu gladkosti funkcije so podani z znakom Dini .
  • Funkcija neprekinjena na točki , ima lahko v njej razhajajočo se Fourierjevo vrsto. Vendar, če se zbliža, potem zagotovo ... To izhaja iz dejstva, da za neprekinjeno in funkcije zaporedje konvergira v Cesaro k ...
  • Če je funkcija na točki prekinjena , vendar ima na tej točki omejitve na desno in levo potem pod nekaterimi dodatnimi pogoji približati se ... Za več podrobnosti si oglejte spremenjen znak Dini .
  • Carlesonov izrek: če , potem njena Fourierjeva vrsta konvergira k njej skoraj povsod . To velja tudi, če ... Однако, существуют функции из , ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым [11] ).
  • Зафиксируем точку . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса , а экспоненциальное — аналитическим функциям . Примеры такого рода связи:

  • Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю ( лемма Римана — Лебега [en] ).
  • Если функция принадлежит классу , то есть дифференцируема раз и её -я производная непрерывна, то
  • Если ряд сходится абсолютно , то совпадает почти всюду с функцией класса при всех .
  • Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем , то ряд сходится абсолютно ( теорема Бернштейна ).
  • Если , то тригонометрический ряд Фурье сходится к аналитической функции . [ источник не указан 4298 дней ]

См. также

Примечания

  1. Математический энциклопедический словарь . — М. : «Сов. энциклопедия » , 1988. — С. 619 .
  2. Fetter, Alexander L. Theoretical Mechanics of Particles and Continua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. — Courier, 2003. — P. 209—210. — ISBN 978-0-486-43261-8 .
  3. Stillwell, John (англ.) . Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century // Routledge History of Philosophy (неопр.) / Ten, CL. — Routledge , 2013. — Т. Volume VII: The Nineteenth Century. — С. 204. — ISBN 978-1-134-92880-4 .
  4. Florian Cajori . A History of Mathematics (неопр.) . — Macmillan, 1893. — С. 283.
  5. Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav (англ.) . Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (фр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . — 1829. — Vol. 4 . — P. 157—169 . — arXiv : 0806.1294 .
  6. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (нем.) . Habilitationsschrift , Göttingen ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind . Дата обращения: 19 мая 2008. Архивировано 20 мая 2008 года.
  7. Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series , in Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 , Elsevier, 2005 , < https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC >  
  8. Remmert, Reinhold. Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics (англ.) . — Springer, 1991. — P. 29.
  9. Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L.Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics (англ.) . — Elsevier , 1995. — ISBN 0-12-515751-7 .
  10. Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (нем.) . — Berlin: Springer-Verlag , 1957.
  11. В. М. Тихомиров, В. В. Успенский . Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21-40.

Литература

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М. : «Наука», 1964. — Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М. : «Мир», 1965. — Т. 1.
  • Харди Г.Х. , Рогозинский В.В. Ряды Фурье. — М. : Физматгиз, 1959.

Ссылки

Представление периодических сигналов. Ряд Фурье .

Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье .