Naključna vrednost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Pojdi na navigacijo Pojdi na iskanje

Naključna spremenljivka ( naključna spremenljivka , naključna vrednost ) - v teoriji verjetnosti , vrednost, ki prevzame, odvisno od primera, določene vrednosti z določenimi verjetnostmi [1] . Primer naključne spremenljivke je številka na kocki ali razdalja od točke udarca izstrelka do tarče. Naključna spremenljivka je eden od osnovnih konceptov teorije verjetnosti[2] .

Bolj formalno je naključna spremenljivka funkcija opredeljeno na prostoru elementarnih rezultatov , in vzame njegove vrednosti na množici realnih števil (v splošnejšem primeru na nekem nizu ). Biti strog pri definiciji funkcije morate uvesti nekaj tehničnih omejitev, o katerih bomo razpravljali kasneje. V mnogih praktičnih primerih lahko naključno spremenljivko obravnavamo kot poljubno funkcijo iz v [3] .

Pomembni značilnosti naključnih spremenljivk sta matematično pričakovanje in varianca [1] .

Primer predmetov, ki zahtevajo uporabo naključnih spremenljivk za predstavitev svojega stanja, so mikroskopski objekti, ki jih opisuje kvantna mehanika . Dogodke prenosa dednih lastnosti s starševskih organizmov na njihove potomce opisujejo naključne spremenljivke (glej Mendelove zakone ). Dogodki radioaktivnega razpada atomskih jeder so naključni dogodki. [4]


Zgodovina

Vlogo naključne spremenljivke kot enega od osnovnih konceptov teorije verjetnosti je prvi jasno razumel PL Čebišev , ki je utemeljil splošno sprejeto stališče na ta koncept (1867) [5] . Razumevanje naključne spremenljivke kot posebnega primera splošnega pojma funkcije je prišlo veliko pozneje, v prvi tretjini 20. stoletja. Prvič je A. N. Kolmogorov (1933) [6] razvil popolno formalizirano predstavitev temeljev teorije verjetnosti na podlagi teorije mere , nakar je postalo jasno, da je naključna spremenljivka merljiva funkcija, definirana na verjetnosti. prostor . V izobraževalni literaturi je to stališče prvi dosledno izvajal W. Feller (glej predgovor k [7] , kjer predstavitev temelji na konceptu prostora elementarnih dogodkov in poudarja, da je le v tem primeru reprezentacija naključne spremenljivke postane smiselna).

Osnovni podatki

Opredelitev

Naj bo - verjetnostni prostor , - merljiv prostor . Nato naključna spremenljivka v prostoru elementarnih dogodkov z vrednostmi v faznem prostoru poklical merljiva funkcija ...

Funkcija distribucije

Porazdelitev verjetnosti naključne spremenljivke imenovana funkcija na sigma algebri fazni prostor, opredeljen kot sledi: [8]

, kje (porazdelitev verjetnosti je verjetnostna mera v faznem prostoru ).

Če je fazni prostor naključne spremenljivke niz realnih števil , z Borelovo σ-algebro , nato distribucijsko funkcijo je enaka verjetnosti, da je vrednost naključne spremenljivke manjša od realnega števila ... Iz te definicije sledi, da je verjetnost, da vrednost naključne spremenljivke pade v interval [a, b), enaka ... Prednost uporabe porazdelitvene funkcije je, da je z njeno pomočjo mogoče doseči enoten matematični opis diskretnih, zveznih in diskretno-kontinuiranih naključnih spremenljivk. Vendar pa obstajajo različne naključne spremenljivke z enakimi funkcijami porazdelitve. Na primer, če je naključna spremenljivka prevzame vrednosti +1 in −1 z enako verjetnostjo 1/2, nato pa naključne spremenljivke in so opisani z isto funkcijo porazdelitve F (x).

Če je naključna spremenljivka diskretna, je popoln in nedvoumen matematični opis njene porazdelitve določen z navedbo verjetnostne funkcije vseh možnih vrednosti te naključne spremenljivke. Primeri diskretnih naključnih spremenljivk so količine z binomskimi in Poissonovimi zakoni porazdelitve.

Ekvivalentne naključne spremenljivke

Naključne funkcije in v faznem prostoru se imenuje enakovredna, če za kateri koli niz razvoj dogodkov in sovpada z verjetnostno eno:

, kje delovanje simetrične razlike dveh nizov.

Za ločljiv fazni prostor enakovrednost pomeni, da so količine in sovpadajo z verjetnostno, tj ...

Skupna porazdelitev naključnih spremenljivk. Neodvisne naključne spremenljivke

Skupna verjetnostna porazdelitev naključnih spremenljivk na prostoru elementarnih dogodkov v ustreznih faznih prostorih , je funkcija poklicana opredeljeno na sklopih kako

...

Porazdelitev verjetnosti kot funkcija na polkrogu množic oblike v produkt prostorov je distribucijska funkcija. Naključne spremenljivke se imenujejo neodvisne, če obstajajo

...

Za katero koli družino distribucij v ustreznih faznih prostorih (parameter pripada poljubni množici ) obstaja družina naključnih spremenljivk na nekem prostoru elementarnih dogodkov v ustreznih faznih prostorih z distribucijo neodvisni med seboj (torej vse naključne spremenljivke , so neodvisni).

Vrste naključnih spremenljivk

Naključne spremenljivke so razvrščene in poimenovane glede na vrsto njihovega faznega prostora. Na primer:

  • Naključna spremenljivka se imenuje diskretna, če ne zavzame več kot štetje vrednosti. Diskretna naključna spremenljivka se imenuje končna, če ima končno število vrednosti. Naključna vrednost se imenuje celo število, če vzame, odvisno od naključnega izida, eno od vrednosti z ustreznimi verjetnostmi ...
  • Merljiva funkcija imenujemo večdimenzionalna naključna spremenljivka oz -dimenzionalni naključni vektor (glede na Borel -algebra vklopljena ). Tej je enakovredna naslednja definicija: vektor , elementi ki so naključne spremenljivke, se imenuje večdimenzionalna naključna spremenljivka ali naključni vektor.
  • Merljiva funkcija poklical -dimenzionalni kompleksni naključni vektor (tudi glede na ustrezni Borel -algebre ).
  • Merljiva funkcija, ki preslika verjetnostni prostor v prostor podmnožic neke (končne) množice, se imenuje (končna) naključna množica.
  • Omejen konveksni politop v -dimenzionalni linearni prostor izdelana kot konveksna lupina iz več kot točke, ki so realizacija naključnega vektorja v prostoru , se imenuje naključni konveksni politop.

Naključni proces

Naj bo - merljiv prostor, niz vrednosti parametrov ... Funkcija parameter katerih vrednosti so naključne spremenljivke na prostoru elementarnih dogodkov v faznem prostoru , se imenuje naključni proces v faznem prostoru ... Vse možne skupne verjetnostne porazdelitve vrednosti :

se imenujejo končnodimenzionalne verjetnostne porazdelitve naključnega procesa ...

Številčne značilnosti naključnih spremenljivk

Matematično pričakovanje ali povprečna vrednost naključne spremenljivke v linearnem normiranem prostoru X na prostoru elementarnih dogodkov imenujemo integral

(ob predpostavki, da je funkcija je integrabilna).

Varianca naključne spremenljivke se imenuje vrednost enaka:

...

V statistiki za varianco se pogosto uporablja zapis oz ... Velikost enako

imenovano standardna deviacija , standardna deviacija ali standardna deviacija.

Kovarianca naključnih spremenljivk in se imenuje naslednja količina:

=

(predpostavlja se, da so matematična pričakovanja definirana).

Če = 0, nato naključne spremenljivke in se imenujejo nekorelirani . Neodvisne naključne spremenljivke so vedno nekorelirane, nasprotno pa ne velja [9] .

Če , , nato vrednost

se imenuje korelacijski koeficient naključnih spremenljivk.

Trenutek reda k naključne spremenljivke imenovano matematično pričakovanje , je absolutni moment reda k količina ; osrednji moment reda k je količina ...

Funkcionalne značilnosti naključnih spremenljivk

Funkcija generiranja

Naj bo celoštevilska naključna spremenljivka, ki prevzame eno od vrednosti, odvisno od naključnega izida z ustreznimi verjetnostmi ... Funkcija spremenljivka , definirana s formulo

,

se imenuje generacijska porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke ... Je analitična funkcija , , zgornja formula pa daje njeno razširitev v potenčni niz. Porazdelitev verjetnosti je enolično določena s svojo generacijsko funkcijo:

kje - izpeljanka vrednost в точке z = 0.
Производящая функция при фиксированном совпадает с математическим ожиданием случайной величины :

.

Если случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию , то

,
.

Для производящей функции случайной величины, равной сумме независимых случайных величин — с производящими функциями справедлива следующее:

.

Характеристическая функция

Пусть векторная случайная величина в -мерном действительном пространстве , где борелевская -алгебра . Функция переменной , называется функцией распределения случайной величины (или функцией совместного распределения величин ). Функция

, где ,

переменной на — мерном действительном пространстве называется характеристической функцией случайной величины (или величин ). Она непрерывна и положительно определена в том смысле, что


для любых и любых чисел при этом . Всякая функция , обладающая указанными свойствами, является характеристической функцией некоторой случайной величины .

И функция распределения и характеристическая функция однозначно определяют распределение вероятностей , , случайной величины .

Семиинварианты

Если , то в некоторой окрестности точки функция (ветвь логарифма, равная нулю в нуле) непрерывно дифференцируется до порядка . Значение

называется семиинвариантом порядка k .

Условные вероятности и условные математические ожидания

Пусть — пространство элементарных событий и — некоторая -алгебра, содержащаяся в . Условная вероятность события относительно -алгебры , обозначаемая , определяется как неотрицательная функция от элементарных исходов , , измеримая относительно , для которой

для любых . Функция на множестве элементарных событий определена однозначно для почти всех элементарных исходов и представляет собой плотность распределения , , относительно распределения на -алгебре .
Условная вероятность , рассматриваемая как функция со значениями в нормированном пространстве всех интегрированных (действительных и комплексных) функций на , представляет собой обобщенную меру на -алгебре пространства , вариация которой есть

.

Всякая случайная (действительная или комплексная) величина , имеющая математическое ожидание (то есть являющаяся интегрируемой функцией на пространстве с мерой ), интегрируема по отношению к обобщенной мере . Соответствующий интеграл

называется условным математическим ожиданием случайной величины .

Теорема Байеса

В терминах событий для случайной величины и событий и , при условии, что справедлива формула Байеса [10] :

Для полного набора попарно несовместных событий и любого события с учётом формулы полной вероятности [10] :

справедлива теорема Байеса:

.

В разных источниках, используется различная терминология для различных представлений теоремы Байеса.

Функции от случайных величин

Если борелевская функция , а — случайная величина, то ее функциональное преобразование также является случайной величиной. Например, если стандартная нормальная случайная величина , то случайная величина имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера , распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если и с совместным распределением , а — некоторая борелевская функция, то для справедливо [10] :

.

Если , и независимы, то . Применяя теорему Фубини получаем:

и аналогично

.

Если и функции распределения, то функцию

называют свёрткой и и обозначают .
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин и является фурье-преобразование свертки функций распределения и и равна произведения характеристических функций и :

.

Центральные предельные теоремы

Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ)— класс теорем, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин с конечными дисперсиями, вклад в сумму каждой из которых невелик, имеет распределение, близкое к нормальному . Первоисточником исследований в области условий, при выполнений которых распределение суммы случайных величин с увеличением их количества сходится к нормальному стала локальная теорема Муавра — Лапласа . [11]

Способы задания

Задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения , плотности вероятности и характеристической функции , определяя вероятности возможных её значений.

Примеры

Дискретная случайная величина

Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени. [12]

Подбрасывание монеты

Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий орёл, решка или кратко . Пусть случайная величина равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:

Если монета идеальная, то выигрыш будет иметь вероятность, заданную как:

где — вероятность получения рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.
Если пространство исходов равно множеству всех возможных комбинаций очков на двух костях, и случайная величина равна сумме этих очков, тогда S — дискретная случайная величина, чьё распределение описывается функцией вероятности , значение которой изображено как высота соответствующей колонки.


Бросание игральных костей

Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости и , каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины , которая задаётся функцией:

и (если кости идеальные) функция вероятности для задаётся через:

,
где — сумма очков на выпавших костях.

Колода карт

Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт . Тогда будет представлять одну из вытянутых карт; здесь не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ . Тогда функция , принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть , тогда после подставления этого исхода в функцию , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом эти операции проводить было нельзя.

Биноминальные случайные величины

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью , «неудача» — с вероятностью . Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли :

.

Пуассоновские случайные величины

Если при стремлении к бесконечности произведение остаётся равной константе , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона , который описывается следующей формулой:

,

где

Непрерывная случайная величина

Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция , удовлетворяющая при любых равенству . Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются непрерывными , а функция называется плотностью распределения вероятностей.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени. [12]

Рост случайного прохожего

Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как ) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина интерпретируется как функция , которая трансформирует каждого испытуемого в число — его рост . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности , которое в совокупности с и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.

См. также

Примечания

  1. 1 2 Случайная величина — статья из Большой советской энциклопедии .
  2. Гнеденко, 2005 , с. 111.
  3. Чернова, 2007 , с. 49—50.
  4. Прохоров Ю. В. Случайная величина // Математическая энциклопедия /Под ред. Виноградова И. М. - М.: Советская энциклопедия, 1985.-Т.5.- Стр. 9.- 623 с.
  5. Чебышёв П. Л., О средних величинах, в кн.: Полн. Собр. Соч., т. 2, М.- Л., 1947
  6. Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974
  7. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967
  8. 1 2 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.
  9. Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Counterexamples in Probability and Statistics. — Belmont, California: Wadsworth, Inc., 1986. — 326 с. — ISBN 0534055680 .
  10. 1 2 3 Ширяев А. Н. Вероятность. — М:. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6 .
  11. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М. : Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
  12. 1 2 Образовательный портал ТГУ . edu.tltsu.ru . Дата обращения: 26 июня 2020.

Литература

  • Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
  • Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — Учебное пособие для ВУЗов. — М. : Радио и связь, 1991. — 608 с. — ISBN 5-256-00789-0 .
  • Чернова Н. И.Теория вероятностей . — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с. — ISBN 978-5-94356-506-9 .

Ссылки